1

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯЗАПИСКА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают
всё большую значимость, как с точки зрения практических приложений, таки
их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число
профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовкав
области вероятности и статистики, такая подготовка важна для продолжения
образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у
него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка
или избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у
обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве
неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей,
производить простейшие вероятностные расчёты.
Знакомство в учебном курсе с основными принципами сбора, анализа и
представления данных из различных сфер жизни общества и государства
приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ
комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчёта числа
вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с основами теории
графовсоздаётматематическийфундаментдляформированиякомпетенцийв
области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и
вероятности обогащаются представления обучающихся о современной
картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются
основы вероятностного мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного
курса «Вероятность и статистика» основного общего образования выделены
следующие содержательно-методические линии: «Представление данных и
описательнаястатистика»,«Вероятность»,«Элементыкомбинаторики»,
«Введениевтеориюграфов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от
чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на
диаграммахиграфиках,досбора,представленияианализаданныхс

2

использованием статистических характеристик средних и рассеивания.
Работая с данными, обучающиеся учатся считывать и интерпретировать
данные, выдвигать, аргументировать и критиковать простейшие гипотезы,
размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их
влияние на рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для
изучения теории вероятностей. Большое значение имеют практические
задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении учебного курса обучающиеся знакомятся с
простейшими
методами
вычисления
вероятностей
в
случайных
экспериментах
с
равновозможными
элементарными
исходами,
вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные
задачи. В учебный курс входят начальные представления о случайных
величинах и их числовых характеристиках.
В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с
множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.
В 7–9 классах изучается учебный курс «Вероятность и статистика», в
который входят разделы: «Представление данных и описательная
статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики», «Введение в
теорию графов».
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» отводится 102
часа: в 7 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 8 классе – 34 часа (1 час в
неделю), в 9 классе – 34 часа (1 час в неделю).

3

СОДЕРЖАНИЕОБУЧЕНИЯ
7 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и
круговых).Чтениеграфиковреальныхпроцессов.Извлечениеинформациииз
диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе
и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в
графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном
графе. Решение задач с помощью графов.
8 КЛАСС
Представлениеданныхввидетаблиц,диаграмм, графиков.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций
над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное,
включения. Использование графического представления множеств для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными
событиями. Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически
достоверными событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование
висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило
умножения. Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей.Условнаявероятность.Правилоумножения.Независимые

4

события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на
нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента,
диаграмм Эйлера.
9 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков,
интерпретация данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по
реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха.
Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний
Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как
теоретического среднего значения величины. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины «число успехов в серии испытаний
Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.

5

ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» НА
УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ
Личностныерезультатыосвоенияпрограммыучебногокурса
«Вероятностьистатистика»характеризуются:
1) патриотическоевоспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданскоеидуховно-нравственноевоспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных
с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовоевоспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построениеминдивидуальнойтраекторииобразованияижизненныхплановс
учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическоевоспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценностинаучногопознания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как средством

6

познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской
деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и
эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическоевоспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задачв
области сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки
их возможных последствий для окружающей среды, осознанием глобального
характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной
среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе
ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательныеуниверсальныеучебныедействия
Базовые логические действия:
 выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак
классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;

7

воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие,
условные;
 выявлять
математические
закономерности,
взаимосвязи
и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях,
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
 разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно несложные доказательства
математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовыеисследовательскиедействия:
 использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
 проводить по самостоятельно составленному плану несложный
эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
 прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работасинформацией:
 выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
 выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
 выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их
комбинациями;
 оценивать надёжность информации по критериям, предложенным
учителем или сформулированным самостоятельно.


8

Коммуникативныеуниверсальныеучебныедействия:
 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями
и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения
в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения
задачи, комментировать полученный результат;
 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
 представлять результаты решения задачи, эксперимента,исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории;
 понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач;
 принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких
людей;
 участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы
и координировать свои действия с другими членами команды,
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивныеуниверсальныеучебныедействия
Самоорганизация:
 самостоятельносоставлятьплан,алгоритмрешениязадачи(илиего
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль,эмоциональныйинтеллект:
 владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи;
 предвидетьтрудности,которыемогутвозникнутьприрешениизадачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;

9



оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.

ПРЕДМЕТНЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 7 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических величин, антропометрических данных, иметь представление о
статистической устойчивости.
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм,
графиков.
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних
значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе
по результатам измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями.
Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента,
диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять
операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение,
перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.

10

Использовать графическое представление множеств и связей между
ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из
других учебных предметов и курсов.
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять
данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов.
Использовать описательные характеристики для массивов числовых
данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь
результатами проведённых измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том
числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях
испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в
природе и обществе.

11

ТЕМАТИЧЕСКОЕПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
№п/п

Наименованиеразделовитем
программы

Количество часов
Всего

Контрольные
работы

Практически
е работы

1

Представлениеданных

7

2

2

Описательнаястатистика

8

1

3

Случайнаяизменчивость

6

1

4

Введениевтеориюграфов

4

5

Вероятностьичастотаслучайного
события

4

6

Обобщение,систематизациязнаний

5

2

34

2

ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ

1

5

12

8 КЛАСС
№п/п

Наименованиеразделовитем
программы

Количество часов
Всего

Контрольные
работы

1

Повторениекурса7класса

4

2

Описательнаястатистика.
Рассеивание данных

4

3

Множества

4

4

Вероятностьслучайногособытия

6

5

Введениевтеориюграфов

4

6

Случайныесобытия

8

7

Обобщение,систематизациязнаний

4

2

34

2

ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ

Практически
е работы

1

1

13

9 КЛАСС
№п/п

Наименованиеразделовитем
программы

Количество часов
Всего

Контрольны
е работы

1

Повторениекурса8класса

4

2

Элементыкомбинаторики

4

3

Геометрическаявероятность

4

4

ИспытанияБернулли

6

5

Случайнаявеличина

6

6

Обобщение, контроль

10

1

34

1

ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ

Практические
работы

Электронные(цифровые)
образовательныересурсы

https://m.edsoo.ru/F1SB2Q6TK

1

https://m.edsoo.ru/OTVIFYM08
https://m.edsoo.ru/JRA02MMJ7

1

https://m.edsoo.ru/PVPMDGFCN
https://m.edsoo.ru/PC35FWECN
https://m.edsoo.ru/BBFTYCMQ0

2

14

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
№
п/п

Количество часов
Тема урока

Всего

1

Представлениеданныхв
таблицах

1

2

Практическиевычисленияпо
табличным данным

1

3

Извлечениеиинтерпретация
табличных данных

1

4

Практическаяработа
"Таблицы"

1

5

Графическоепредставление
данных в виде круговых,
столбиковых (столбчатых)
диаграмм

1

6

Чтение и построение
диаграмм. Примеры
демографическихдиаграмм

1

7

Практическаяработа
"Диаграммы"

1

8

Числовыенаборы.Среднее
арифметическое

1

9

Числовыенаборы.Среднее

1

Контрольные
работы

Практически
е работы

1

1

15

арифметическое
10

Медианачисловогонабора.
Устойчивость медианы

1

11

Медианачисловогонабора.
Устойчивость медианы

1

12

Практическаяработа
"Средние значения"

1

13

Наибольшее и наименьшее
значениячисловогонабора.
Размах

1

14

Наибольшее и наименьшее
значениячисловогонабора.
Размах

1

15

Наибольшее и наименьшее
значениячисловогонабора.
Размах

1

16

Контрольнаяработапотемам
"Представление данных.
Описательнаястатистика"

1

17

Случайнаяизменчивость
(примеры)

1

18

Частотазначенийвмассиве
данных

1

19

Группировка

1

20

Гистограммы

1

1

1

16

21

Гистограммы

1

22

Практическая работа
"Случайнаяизменчивость"

1

23

Граф, вершина, ребро.
Представлениезадачис
помощью графа

1

24

Степень (валентность)
вершины. Число рёбер и
суммарнаястепеньвершин.
Цепь и цикл

1

25

Цепьицикл.Путьвграфе.
Представлениеосвязности
графа

1

26

Представление об
ориентированныхграфах

1

27

Случайныйопытислучайное
событие

1

28

Вероятность и частота
события.Рольмаловероятных и
практически достоверных
событий в природе и в
обществе

1

29

Монетаиигральнаякостьв
теории вероятностей

1

30

Практическаяработа"Частота
выпадения орла"

1

1

1

17

31

Контрольнаяработапотемам
"Случайная изменчивость.
Графы. Вероятность
случайного события"

1

32

Повторение,обобщение.
Представление данных

1

33

Повторение, обобщение.
Описательнаястатистика

1

34

Повторение,обобщение.
Вероятностьслучайного
события

1

ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ

34

1

2

5

18

8 КЛАСС
№
п/п

Количество часов
Тема урока

Всего

1

Представление данных.
Описательнаястатистика

1

2

Случайная изменчивость.
Средниечисловогонабора

1

3

Случайные события.
Вероятностиичастоты

1

4

Классическиемоделитеории
вероятностей: монета и
игральная кость

1

5

Отклонения

1

6

Дисперсиячисловогонабора

1

7

Стандартноеотклонение
числового набора

1

8

Диаграммырассеивания

1

9

Множество, подмножество

1

10

Операциинадмножествами:
объединение, пересечение,
дополнение

1

11

Свойстваоперацийнад
множествами:

1

Контрольные
работы

Практические
работы

19

переместительное,
сочетательное,
распределительное,включения
12

Графическоепредставление
множеств

1

13

Контрольнаяработапотемам
"Статистика. Множества"

1

14

Элементарныесобытия.
Случайные события

1

15

Благоприятствующие
элементарныесобытия.
Вероятности событий

1

16

Благоприятствующие
элементарныесобытия.
Вероятности событий

1

17

Опытысравновозможными
элементарнымисобытиями.
Случайный выбор

1

18

Опытысравновозможными
элементарнымисобытиями.
Случайный выбор

1

19

Практическаяработа"Опытыс
равновозможными
элементарными событиями"

1

20

Дерево

1

21

Свойствадерева:

1

1

1

20

единственность пути,
существование висячей
вершины,связьмеждучислом
вершин и числом рёбер
22

Правило умножения

1

23

Правило умножения

1

24

Противоположноесобытие

1

25

Диаграмма Эйлера.
Объединениеипересечение
событий

1

26

Несовместныесобытия.
Формула сложения
вероятностей

1

27

Несовместныесобытия.
Формула сложения
вероятностей

1

28

Правило умножения
вероятностей. Условная
вероятность.Независимые
события

1

29

Правило умножения
вероятностей. Условная
вероятность.Независимые
события

1

30

Представление случайного
экспериментаввидедерева

1

21

31

Представление случайного
экспериментаввидедерева

1

32

Повторение, обобщение.
Представление данных.
Описательнаястатистика

1

33

Повторение,обобщение.
Графы

1

34

Контрольнаяработапотемам
"Случайные события.
Вероятность. Графы"

1

1

34

2

ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ

1

22

9 КЛАСС
№
п/п

Количество часов
Тема урока

Всего

1

Представление данных

1

2

Описательная статистика

1

3

Операции над событиями

1

4

Независимость событий

1

5

Комбинаторное правило
умножения

1

6

Перестановки. Факториал.
Сочетанияичислосочетаний

1

7

ТреугольникПаскаля

1

8

Практическая работа
"Вычисление вероятностейс
использованием
комбинаторных функций
электронных таблиц"

1

9

Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из
отрезка, из дуги окружности

1

10

Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из

1

Контрольные
работы

Практические
работы

1

23

отрезка,издуги окружности

11

Геометрическаявероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из
отрезка, из дуги окружности

1

12

Геометрическаявероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из
отрезка, из дуги окружности

1

13

Испытание.Успехинеудача.
Серия испытаний до первого
успеха

1

14

Испытание.Успехинеудача.
Серия испытаний до первого
успеха

1

15

Испытание.Успехинеудача.
Серия испытаний до первого
успеха

1

16

Испытания Бернулли.
Вероятностисобытийвсерии
испытаний Бернулли

1

17

Испытания Бернулли.
Вероятностисобытийвсерии
испытаний Бернулли

1

18

Практическая работа
"ИспытанияБернулли"

1

1

24

19

Случайная величина и
распределениевероятностей

1

20

Математическоеожиданиеи
дисперсия случайной
величины

1

21

Примеры математического
ожиданиякактеоретического
среднего значения величины

1

22

Понятиеозаконебольших
чисел

1

23

Измерениевероятностейс
помощью частот

1

24

Применениезаконабольших
чисел

1

25

Обобщение,систематизация
знаний. Представление
данных

1

26

Обобщение,систематизация
знаний. Описательная
статистика

1

27

Обобщение,систематизация
знаний. Представление
данных. Описательная
статистика

1

28

Обобщение,систематизация
знаний. Вероятность

1

25

случайного события

29

Обобщение,систематизация
знаний. Вероятность
случайного события.
Элементыкомбинаторики

1

30

Обобщение,систематизация
знаний. Элементы
комбинаторики

1

31

Обобщение,систематизация
знаний. Элементы
комбинаторики. Случайные
величины и распределения

1

32

Обобщение, систематизация
знаний.Случайныевеличины и
распределения

1

33

Итоговаяконтрольнаяработа

1

34

Обобщение,систематизация
знаний

1

ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ

34

1

1

2

26

ПРОВЕРЯЕМЫЕТРЕБОВАНИЯКРЕЗУЛЬТАТАМОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
7 КЛАСС

Код
проверяемого
результата
5

Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательнойпрограммыосновногообщегообразования
Вероятностьистатистика
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,

5.1

представлять

данные

в

виде

таблиц,

строить

диаграммы

(столбиковые(столбчатые)икруговые)помассивамзначений
5.2

Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленныевтаблицах,надиаграммах, графиках
Использовать

5.3

для

описания

данных

статистические

характеристики:среднееарифметическое,медиана,наибольшееи
наименьшеезначения,размах
Иметьпредставлениеослучайнойизменчивостинапримерахцен,

5.4

физических

величин,

антропометрических

данных,

иметь

представлениеостатистическойустойчивости

8 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
5

Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательнойпрограммыосновногообщегообразования
Вероятностьистатистика
Извлекатьипреобразовыватьинформацию,представленнуюв

5.1

видетаблиц,диаграмм,графиков,представлятьданныеввиде
таблиц, диаграмм, графиков

5.2

Описыватьданныеспомощьюстатистическихпоказателей:
среднихзначенийимеррассеивания(размах,дисперсияи

27

стандартноеотклонение)
5.3

Находитьчастотычисловыхзначенийичастотысобытий,втом
числепорезультатамизмеренийинаблюдений
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная

5.4

вероятностиэлементарныхсобытий,втомчислевопытахс
равновозможнымиэлементарнымисобытиями

5.5

Использовать

графические

модели:

дерево

случайного

эксперимента,диаграммыЭйлера,числоваяпрямая
Оперировать понятиями: множество, подмножество; выполнять

5.6

операции

над

множествами:

объединение,

пересечение,

дополнение;перечислятьэлементымножеств,применятьсвойства
множеств
Использоватьграфическоепредставлениемножествисвязей

5.7

между ними для описания процессов и явлений, в том числе при
решении задач из других учебных предметов и курсов

9 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
5

Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательнойпрограммыосновногообщегообразования
Вероятностьистатистика
Извлекатьипреобразовыватьинформацию,представленнуюв

5.1

различныхисточникахввидетаблиц,диаграмм,графиков,
представлятьданныеввидетаблиц,диаграмм,графиков

5.2

Решатьзадачиорганизованнымпереборомвариантов,атакжес
использованиемкомбинаторныхправилиметодов
Использовать

5.3

описательные

характеристики

для

массивов

числовыхданных,втомчислесредниезначенияимеры
рассеивания

5.4

Находитьчастотызначенийичастотысобытия,втомчисле
пользуясьрезультатамипроведённыхизмеренийинаблюдений

28

Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в
5.5

том числе в опытах с равновозможными элементарными
событиями,всерияхиспытанийдопервогоуспеха,всериях
испытанийБернулли

5.6

Иметьпредставлениеослучайнойвеличинеиораспределении
вероятностей
Иметьпредставлениеозаконебольшихчиселкакопроявлении

5.7

закономерностивслучайнойизменчивостииоролизакона
большихчиселвприродеи обществе

29

ПРОВЕРЯЕМЫЕЭЛЕМЕНТЫСОДЕРЖАНИЯ

7 КЛАСС
Код
5

Проверяемыйэлементсодержания
Вероятностьистатистика
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и

5.1

круговых).

Чтение

графиков

реальных

процессов.

Извлечение

информациииздиаграммитаблиц,использованиеиинтерпретация
данных
Описательнаястатистика:среднееарифметическое,медиана,размах,
5.2

наибольшееинаименьшеезначениянаборачисловыхданных.Примеры
случайнойизменчивости
Случайныйэксперимент(опыт)ислучайноесобытие.Вероятностьи

5.3

частота.Рольмаловероятныхипрактическидостоверныхсобытийв природе
и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная

5.4

степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути
вграфах.Обходграфа(эйлеровпуть).Представлениеоб
ориентированномграфе.Решениезадачспомощьюграфов

8 КЛАСС
Код
5
5.1
5.2

5.3

Проверяемыйэлементсодержания
Вероятностьистатистика
Представлениеданныхввидетаблиц,диаграмм, графиков
Множество,

элемент

множества,

подмножество.

Операции

множествами:объединение,пересечение,дополнение
Свойстваоперацийнадмножествами:переместительное,сочетательное,
распределительное, включения

над

30

5.4

5.5

Использованиеграфическогопредставлениямножествдляописания
реальныхпроцессовиявлений,прирешениизадач.
Измерениерассеиванияданных.Дисперсияистандартноеотклонение
числовыхнаборов.Диаграммарассеивания
Элементарные

5.6

события

случайного

опыта.

Случайные

события.

Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными
событиями.Случайныйвыбор.Связьмеждумаловероятнымии
практическидостовернымисобытиямивприроде,обществеинауке
Дерево. Свойства деревьев: единственность

5.7

пути, существование

висячейвершины,связьмеждучисломвершиничисломрёбер. Правило
умножения. Решение задач с помощью графов
Противоположные

5.8

события.

пересечениесобытий.

Диаграмма

Эйлера.

Объединение

и

Несовместныесобытия.Формуласложения

вероятностей
5.9

Условнаявероятность.Правилоумножения.Независимыесобытия
Представление

5.10

эксперимента

в виде дерева. Решение задач на

нахождениевероятностейспомощьюдереваслучайногоэксперимента,
диаграммЭйлера

9 КЛАСС
Код
5

Проверяемыйэлементсодержания
Вероятностьистатистика
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация

5.1

данных.Чтениеипостроениетаблиц,диаграмм,графиковпореальным
данным

5.2

Перестановкиифакториал

5.3

Сочетанияичисло сочетаний

5.4

ТреугольникПаскаля.Решениезадачсиспользованиемкомбинаторики

5.5
5.6

Геометрическаявероятность.Случайныйвыборточкиизфигурына
плоскости,изотрезкаииздуги окружности
Испытание.Успехинеудача.Серияиспытанийдопервогоуспеха

31

5.7
5.8
5.9

5.10

5.11

СерияиспытанийБернулли.Вероятностисобытийвсериииспытаний
Бернулли
Случайнаявеличинаираспределениевероятностей
Математическое

ожидание и дисперсия. Примеры математического

ожиданиякактеоретическогосреднегозначениявеличины
Математическоеожиданиеидисперсияслучайнойвеличины«число
успеховвсериииспытанийБернулли»
Понятиеозаконебольшихчисел.Измерениевероятностейспомощью
частот.Рольизначениезаконабольшихчиселвприродеиобществе

32

ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМОСВОЕНИЯОСНОВНОЙОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы основного общего
образования на основе ФГОС

1

Умение оперировать понятиями: множество, подмножество, операции
надмножествами;умениеоперироватьпонятиями:граф,связныйграф,
дерево, цикл, применять их при решении задач; умение использовать
графическое представление множеств для описания реальных
процессовиявлений, прирешениизадачиз других учебных предметов

2

Умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
доказательство; умение распознавать истинные и ложные
высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить
высказывания и отрицания высказываний

3

Умение оперировать понятиями: натуральное число, простое и
составное число, делимость натуральных чисел, признаки делимости,
целое число, модуль числа, обыкновенная дробь и десятичная дробь,
стандартный вид числа, рациональное число, иррациональное число,
арифметический квадратный корень; умение выполнять действия с
числами, сравнивать и упорядочивать числа, представлять числа на
координатной прямой, округлять числа; умение делать прикидку и
оценку результата вычислений

4

Умение оперировать понятиями: степень с целым показателем,
арифметическийквадратныйкорень,многочлен,алгебраическаядробь,
тождество; знакомство с корнем натуральной степени большеединицы;
умение выполнять расчёты по формулам, преобразования целых,
дробно-рациональных выражений и выражений с корнями, разложение
многочлена на множители, в том числе с использованием формул
разности квадратов и квадрата суммы и разности

5

Умение оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с
одной переменной, числовое неравенство, неравенство с переменной;
умение решать линейные и квадратные уравнения, дробнорациональные уравнения с одной переменной, системы двух линейных
уравнений, линейные неравенства и их системы, квадратные и дробнорациональные неравенства с одной переменной, в том числе при
решении задач из других предметов и практических задач; умение
использоватькоординатнуюпрямуюикоординатнуюплоскостьдля

33

изображениярешенийуравнений,неравенствисистем

6

Умение оперировать понятиями: функция, график функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания,
убывания, наибольшее и наименьшее значения функции; умение
оперировать понятиями: прямая пропорциональность, линейная
функция, квадратичная функция, обратная пропорциональность,
парабола, гипербола; умение строить графики функций, использовать
графики для определения свойств процессов и зависимостей, для
решения задач из других учебных предметов и реальной жизни;умение
выражать формулами зависимости между величинами

7

Умение оперировать понятиями: последовательность, арифметическая
и геометрическая прогрессии; умение использовать свойства
последовательностей, формулы суммы и общего члена при решении
задач, в том числе задач из других учебных предметов и реальной
жизни

8

Умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и
части, движение, работу, цену товаров и стоимость покупок и услуг,
налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); умение составлять выражения, уравнения, неравенства и
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность полученных результатов

9

Умение оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч,
ломаная, угол, многоугольник, треугольник, равнобедренный и
равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник, медиана,
биссектриса
и
высота
треугольника,
четырёхугольник,
параллелограмм,ромб,прямоугольник,квадрат,трапеция;окружность,
круг, касательная; знакомство с пространственными фигурами; умение
решать задачи, в том числе из повседневной жизни, на нахождение
геометрических величин с применением изученных свойств фигур и
фактов

10

Умение оперировать понятиями: равенство фигур, равенство
треугольников; параллельность и перпендикулярность прямых, угол
междупрямыми,перпендикуляр,наклонная,проекция,подобиефигур,
подобные треугольники, симметрия относительно точки и прямой;
умение распознавать равенство, симметрию и подобие фигур,
параллельность и перпендикулярность прямых в окружающем мире

11

Умение оперировать понятиями: длина, расстояние, угол (величина
угла, синус и косинус угла треугольника), площадь; умение оценивать
размерыпредметовиобъектоввокружающеммире;умениеприменять
формулыпериметраиплощадимногоугольников,длиныокружностии
площадикруга,объемапрямоугольногопараллелепипеда;умение

34

применять признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов
треугольника, теорему Пифагора, тригонометрические соотношения
для вычисления длин, расстояний, площадей

12

Умение изображать плоские фигуры и их комбинации,
пространственные фигуры от руки, с помощью чертёжных
инструментов и электронных средств по текстовому или символьному
описанию

13

Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат;
координаты точки, вектор, сумма векторов, произведение вектора на
число, скалярное произведение векторов; умение использоватьвекторы
и координаты для представления данных и решения задач, в том числе
из других учебных предметов и реальной жизни

14

Умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые диаграммы,
таблицы,среднееарифметическое,медиана,наибольшееинаименьшее
значения,
размах
числового
набора;
умение
извлекать,
интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в
таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики
реальных процессов и явлений; умение распознавать изменчивые
величины в окружающем мире

15

Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный
эксперимент), элементарное событие (элементарный исход)случайного
опыта, случайное событие, вероятность события; умение находить
вероятности случайных событий в опытах с равновозможными
элементарными событиями; умение решать задачи методом
организованного перебора и с использованием правила умножения;
умение оценивать вероятности реальных событий и явлений, понимать
роль практически достоверных и маловероятных событий в
окружающем мире и в жизни; знакомство с понятием независимых
событий; знакомство с законом больших чисел и его ролью в массовых
явлениях

16

Умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи,
приводить примеры математических закономерностей в природе и
жизни, распознавать проявление законов математики в искусстве,
описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе
развития математики как науки, приводить примеры математических
открытий и их авторов в отечественной и всемирной истории

35

ПЕРЕЧЕНЬЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ,ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ОГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2

Проверяемыйэлементсодержания
Числаивычисления
Натуральныеицелыечисла.Признакиделимостицелыхчисел
Обыкновенныеидесятичныедроби,проценты,бесконечныепериодические дроби

1.3

Рациональныечисла.Арифметическиеоперациисрациональнымичислами

1.4

Действительныечисла.Арифметическиеоперациисдействительнымичислами

1.5

Приближённыевычисления,правилаокругления,прикидкаиоценкарезультата
вычислений

2

Алгебраическиевыражения

2.1

Буквенныевыражения(выраженияспеременными)

2.2

Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
степени

2.3

Многочлены

2.4

Алгебраическаядробь

2.5

Арифметическийкореньнатуральнойстепени.Действиясарифметическими
корнями натуральной степени

3

Уравненияинеравенства

3.1

Целыеидробно-рациональныеуравнения.Системыисовокупностиуравнений

3.2

Целые и дробно-рациональные
неравенств

3.3

Решениетекстовыхзадач

4

неравенства.

Системы

и совокупности

Числовыепоследовательности

4.1

Последовательности,способызаданияпоследовательностей

4.2

Арифметическаяигеометрическаяпрогрессии.Формуласложныхпроцентов

5

5.1.

6

Функции
Функция, способы задания функции. График функции. Область определения и
множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.
Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Координаты на прямой иплоскости

6.1

Координатнаяпрямая

6.2

Декартовыкоординатынаплоскости

36

7

Геометрия

7.1

Геометрическиефигурыиихсвойства

7.2

Треугольник

7.3

Многоугольники

7.4

Окружностьикруг

7.5

Измерениегеометрическихвеличин

7.6

Векторынаплоскости

8

Вероятностьистатистика

8.1

Описательнаястатистика

8.2

Вероятность

8.3

Комбинаторика

8.4

Множества

8.5

Графы

37

Электронные образовательные ресурсы:

ООО «Я – класс»

ООО «Фоксворд»

ООО Учи ру»